Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=2，a_na_n+1=m•4ⁿ，n∈N^*，
（1）求m的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8對任意n∈N^*都成立？若存在，求出數(shù)列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先求出公比，即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，從而求出m的值；
（2）先猜想，再用數(shù)學歸納法進行證明．

解答： 解：（1）設an=2qn-1(q＞0)，則

an+2

an

=

an+1an+2

anan+1

=q2=4，
∴q=2，∴an=2n，
anan+1=m•4n=22n+1=2•4n，∴m=2．…（5分）
（2）存在等差數(shù)列b_n=3n-1，使得a1b1+a2b2+…+anbn=(3n-4)•2n+1+8對任意n∈N^*都成立．…（7分）
下面用數(shù)學歸納法證明：
（i）當n=1時，等式左邊=a₁b₁=4，等式右邊=（3-4）•2²+8=4，所以等式成立．…（8分）
（ii）假設當n=k時等式成立，即a1b1+a2b2+…+akbk=(3k-4)•2k+1+8，…（9分）
則a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1=(3k-4)•2k+1+8+(3k+2)•2k+1
=（3k-1）•2^k+2+8=[3（k+1）-4]•2^（k+1）+2+8…（11分）
這就是說，當n=k+1時，等式也成立．
綜上（i）（ii）可知，等式對一切n∈N^*都成立．故存在等差數(shù)列{b_n}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=(3n-4)•2n+1+8對任意n∈N^*都成立．…（12分）

點評：本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．