Question

是否存在實數(shù)m，使得f（x）=-cos²x+2mcosx+m²+4m-3的最大值為3m，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=-（cosx-m）²+2m²+4m-3，
設(shè)t=cosx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)等價為g（t）=-（t-m）²+2m²+4m-3，
假設(shè)存在滿足條件的m．
�。┊�(dāng)m≥1時，函數(shù)g（t）的最大值為g（1）=m²+6m-4，
令m²+6m-4=3m，得m=1（m=-4舍去），
ⅱ）當(dāng)m≤-1時，函數(shù)g（t）的最大值為g（-1）=m²+2m-4，
令m²+2m-4=3m，得m=

1- 17

2

（或m=

1+ 17

2

舍去）
ⅲ）當(dāng)-1＜m＜1時，函數(shù)g（t）的最大值為g（m）=2m²+4m-3，
令2m²+4m-3=3m，得m=-

3

2

（舍去）m=1（舍去），
綜上，存在m使得f（x）的最大值為3m．m=1或m=

1- 17

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的最值的計算，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．