Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（2）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，若有，求出極值.

Answer 1

【答案】（1）y=1（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別求出， ，即可求出曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）表示出的表達(dá)式，求出的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造，可證時(shí)， ； 時(shí)， ，再對(duì)分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，并可判斷有無極值，從而求出極值.

試題解析：（1）

∴ 則切線方程為

（2）依題意得

∴

令，則

∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增．

∵

∴時(shí)， ； 時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，則時(shí)， ，函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞增； 時(shí)， ，函數(shù)在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．

∴時(shí)，函數(shù)取得極小值， ，無極大值

當(dāng)時(shí)，令，則，

①時(shí)， 時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值， ．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，

②時(shí)， ， 時(shí)，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值

③時(shí)， ， 時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí)， ， ，函數(shù)單調(diào)遞增．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值， ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值,

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減， 極小值為﹣1﹣2a，無極大值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，（0，+∞）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 極小值為，極大值為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（﹣∞，0），上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 極大值為．極小值為．