Question

已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x²-4x+3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象討論直線y=k（k∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用奇函數(shù)定義求解轉(zhuǎn)化，
（2）作出圖象，根據(jù)圖象討論的答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即f（0）=0
∵當x＞0時，f（x）=x²-4x+3，
∴設(shè)x＜0時，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]
即f（x）═-x²-4x-3，x＜0
f(x)=

x2-4x+3    (x＞0) 0   (x=0)    -x2-4x-3  (x＜0)

（2）特別強調(diào)的是圖中y 軸上的點（0，3），（0-3）為虛點，圖中畫不出虛點符號，
f（2）=-1，f（-2）=1

由圖可判斷直線y=k（k∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象的交點個數(shù)：
（1）k≥3或k≤-3時，有1個交點；
（2）-3＜k＜-1或1＜k＜3時，有2個交點；        （3）k=±1時，有3個交點；
（4）-1＜k＜0或0＜k＜1時，有4個交點；         （5）k=0時，有5個交點．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的圖象性質(zhì)，要求的能力較高．