Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=$\sqrt{2}$，N為線段CD的中點(diǎn)．
（1）若線段AB中點(diǎn)為E，試問線段PC上是否存在一點(diǎn)M使得ME∥平面PAD．若存在M點(diǎn)，設(shè)CM=kCP，求k的值．若不存在說明理由．
（2）求證：BD⊥PN；
（3）求三棱錐A-PBC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點(diǎn)M，此時k=$\frac{1}{2}$，連結(jié)M、N、E三點(diǎn)，證明面PAD∥面EMN，可得ME∥平面PAD．
（2）連結(jié)BD，AC，取AD中點(diǎn)為F，證明BD⊥面PFN，即可證明BD⊥PN；
（3）利用三棱錐的體積公式，即可求三棱錐A-PBC的體積．

解答 （1）解：取PC的中點(diǎn)M，此時k=$\frac{1}{2}$，連結(jié)M、N、E三點(diǎn)，則PD∥MN
∵∠ADC=∠BCD=90°且N、E分別為CD、AB的中點(diǎn)
∴AD∥BC∥NE
∵PD∩AD=D，NE∩MN=N，
∴面PAD∥面EMN
∵M(jìn)E?面EMN，
∴ME∥面PAD   …（4分）
（2）證明：連結(jié)BD，AC，取AD中點(diǎn)為F
在Rt△BCD和Rt△ACD中，$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{CD}{AD}$，
∴Rt△BCD∽Rt△ACD，
∴∠BDC=∠CAD
∵∠BDC+∠BDA=90°，∴∠BDC+∠CAD=90°，∴BD⊥AC
∵N、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，∴FN∥AC，∴FN⊥BD
∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵面PAD⊥面ABCD=AD，PF?面PAD，∴PF⊥面ABCD
∵BD?面ABCD，∴PF⊥BD
∴BD⊥面PFN，
∵PN?面PFN，∴PN⊥BD                        …（8分）
（3）解：V=$\frac{1}{3}$×$\frac{（BC+AD）CD}{2}$×PF=$\frac{1}{3}$×$\frac{（1+2）\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$                 …（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行、垂直的判定定理的證明，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力以及計算能力．