Question

定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，且x₀∈（a-1，a）（a∈N^*），則a=

 

．

Answer 1

考點：導數(shù)的運算,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由題意可得f（x）-log₂x為定值，設為t，代入可得t=4，進而可得函數(shù)的解析式，化方程有解為函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-

1

xln2

有零點，易得F（1）＜0，F(xiàn)（2）＞0，由零點的判定可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=

1

xln2

，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，
∴x₀是函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-

1

xln2

的零點，
分析易得F（1）=-

1

ln2

＜0，F(xiàn)（2）=1-

1

2ln2

=1-

1

ln4

＞0，
故函數(shù)F（x）的零點介于（1，2）之間，∴a=2，
故答案為：2．

點評：本題考查函數(shù)的零點的判斷，涉及導數(shù)的運算和性質(zhì)，考查了學生的靈活應變能力，屬中檔題．