Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），M是線段AP的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求證點(diǎn)M到點(diǎn)E（

3

2

，0）、F（3、0）的距離之比是常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，可得直角坐標(biāo)方程x²+y²=4．可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

，設(shè)P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（II）利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，可得

x2+y2

=2，即x²+y²=4．
可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sinθ

，
設(shè)P（2cosθ，2sinθ），M（x，y）
則

x= 2cosθ+2 2 =cosθ+1 y= 2sinθ 2 =sinθ

，
消去θ可得點(diǎn)M的軌跡方程為：（x-1）²+y²=1（x≠2）；
（Ⅱ）設(shè)M（cosθ+1，sinθ），
則

|ME|

|MF|

=

(cosθ+1- 3 2 )2+sin2θ

(cosθ+1-3)2+sin2θ

=

5 4 -cosθ

5-4cosθ

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及中點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．