【題目】如圖,在四棱錐中,底面為邊長為的正方形, 分別為, 的中點.

(1)求證: 平面;

(2)若, 平面,求直線與平面所成角的大小.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)設(shè)的中點為,連接, ,根據(jù)三角形中位線定理可得,進而得四邊形為平行四邊形,從而,由線面平行的判定定理可得 平面;(2)由(1)知, ,因為平面,可得平面, ,可證明平面 , , 兩兩垂直,以為坐標原點,向量, , 的方向為軸, 軸, 軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標系,求出直線的方向向量與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得直線與平面所成角的正弦值,從而可得結(jié)果.

試題解析:(1)設(shè)的中點為,連接,

,而

∴四邊形為平行四邊形.

,而平面, 平面

平面;

(2)由(1)知, ,因為平面

所以平面,而, 平面

, ,

平面 平面

,而, ,所以平面

(注意:沒有證明出平面,直接運用這一結(jié)論的,后續(xù)過程不給分)

由題意, , , 兩兩垂直,以為坐標原點,向量, , 的方向為軸, 軸, 軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標系

在三角形平面,而平面,知,而的中點為,則, , ,

, , 為平面的一個法向量.

設(shè)直線與平面所成角為

所以直線與平面所成角為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】半期考試后,班長小王統(tǒng)計了50名同學的數(shù)學成績,繪制頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這50名同學的數(shù)學成績的眾數(shù);

(2)用分層抽樣的方法從成績低于115的同學中抽取6名,再在抽取的這6名同學中任選2名,求這兩名同學數(shù)學成績均在中的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列命題中,正確的是(

A.中,,

B.在銳角中,不等式恒成立

C.中,若,則必是等腰直角三角形

D.中,若,,則必是等邊三角形

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且.

1)求實數(shù)的值,并指出函數(shù)的定義域;

2)將函數(shù)圖象上的所有點向右平行移動1個單位得到函數(shù)的圖象,寫出函數(shù)的表達式;

3)對于(2)中的,關(guān)于的函數(shù)上的最小值為2,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若對于曲線上任意點處的切線,總存在上處的切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是__________

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標平面內(nèi),以坐標原點為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知點、的極坐標分別為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).

(1)求直線的直角坐標方程;

(2)若直線和曲線只有一個交點,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2018衡水金卷(二)如圖,矩形中, , 于點

I)若點的軌跡是曲線的一部分,曲線關(guān)于軸、軸、原點都對稱,求曲線的軌跡方程;

II)過點作曲線的兩條互相垂直的弦,四邊形的面積為,探究是否為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓經(jīng)過(25),(﹣2,1)兩點,并且圓心在直線yx.

1)求圓的標準方程;

2)求圓上的點到直線3x4y+230的最小距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,則的最大值為__________

查看答案和解析>>

同步練習冊答案