Question

15．圓C的半徑為$\sqrt{13}$，且與直線2x+3y-10=0切于點(diǎn)P（2，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）若原點(diǎn)不在圓C的內(nèi)部，且圓x²+y²=m與圓C相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），利用半徑為$\sqrt{13}$，且與直線2x+3y-10=0切于點(diǎn)P（2，2），建立方程組，求出圓心坐標(biāo)，即可求得圓的方程．
（2）原點(diǎn)不在圓C的內(nèi)部，則圓的方程為（x-5）²+（y-4）²=13，圓x²+y²=m與圓C相交，建立不等式，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-2}{x-2}•（-\frac{2}{3}）=-1}\\{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}=13}\end{array}\right.$，
∴x=0，y=-1或x=5，y=4，
∴圓的方程為x²+（y+1）²=13或（x-5）²+（y-4）²=13．
（2）原點(diǎn)不在圓C的內(nèi)部，則圓的方程為（x-5）²+（y-4）²=13，
∵圓x²+y²=m與圓C相交，
∴|$\sqrt{m}$-$\sqrt{13}$|＜$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$＜$\sqrt{m}$+$\sqrt{13}$，
∴54-2$\sqrt{533}$＜m＜54+2$\sqrt{533}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．