Question

某市環(huán)保部門對市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境污染指數(shù)f（x）與時刻x（時）的關(guān)系為f（x）=a|

x

x2+1

-a|+a+

16

9

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈（0，

1

4

]，用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的污染指數(shù)，記作M（a）．
（Ⅰ）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）按規(guī)定，每天的污染指數(shù)不得超過2，問目前市中心的污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用取倒數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得t的取值范圍；
（Ⅱ）分段求出每天的綜合放射性污染指數(shù)不超過2時a的范圍，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x=0時，t=0；
當(dāng)0＜x≤24時，

1

t

=x+

1

x

．
對于函數(shù)y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴當(dāng)0＜x＜1時，y′＜0，函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)遞減，當(dāng)1＜x≤24時，y′＞0，函數(shù)y=x+

1

x

單調(diào)遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，

1

2

]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t的取值范圍是[0，

1

2

]；
當(dāng)a∈（0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+a+

16

9

，則g（t）=

-at+a2+a+ 16 9 ，0≤t＜a at-a2+a+ 16 9 ，a≤t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，

1

2

]上單調(diào)遞增，
∴g（t）的最大值只可能在t=0或t=

1

2

時取得．
從而M（a）=g（

1

2

）=-a²+

3

2

a+

16

9

．
由

0＜a≤ 1 4 -a2+ 3 2 a+ 16 9 ≤2

，解得0＜a≤

1

6

，
∴a∈（0，

1

6

]時，污染指數(shù)不超標(biāo)；a∈（

1

6

，

1

4

]時，污染指數(shù)超標(biāo)．

點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用及分類討論的思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．