Question

某市環(huán)保部門對市中心每天環(huán)境污染情況進行調查研究，發(fā)現一天中環(huán)境污染指數f（x）與時刻x（時）的關系為f（x）=a|

x

x2+1

-a|+a+

16

9

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關的參數，且a∈（0，

1

4

]，用每天f（x）的最大值作為當天的污染指數，記作M（a）．
（Ⅰ）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）按規(guī)定，每天的污染指數不得超過2，問目前市中心的污染指數是否超標？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）利用取倒數，求導數，確定函數的單調性，可得t的取值范圍；
（Ⅱ）分段求出每天的綜合放射性污染指數不超過2時a的范圍，即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當x=0時，t=0；
當0＜x≤24時，

1

t

=x+

1

x

．
對于函數y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴當0＜x＜1時，y′＜0，函數y=x+

1

x

單調遞減，當1＜x≤24時，y′＞0，函數y=x+

1

x

單調遞增，
∴y∈[2，+∞）．
綜上，t的取值范圍是[0，

1

2

]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t的取值范圍是[0，

1

2

]；
當a∈（0，

1

2

]時，記g（t）=|t-a|+a+

16

9

，則g（t）=

-at+a2+a+ 16 9 ，0≤t＜a at-a2+a+ 16 9 ，a≤t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調遞減，在（a，

1

2

]上單調遞增，
∴g（t）的最大值只可能在t=0或t=

1

2

時取得．
從而M（a）=g（

1

2

）=-a²+

3

2

a+

16

9

．
由

0＜a≤ 1 4 -a2+ 3 2 a+ 16 9 ≤2

，解得0＜a≤

1

6

，
∴a∈（0，

1

6

]時，污染指數不超標；a∈（

1

6

，

1

4

]時，污染指數超標．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用及分類討論的思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．