Question

已知橢圓C的中心點在原點，焦點M、N在x軸上，且焦距為2

3

，長軸長為4
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上是否存在一點Q，使得∠MQN為鈍角？若存在，求出Q點橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由焦距為2

3

，實軸長為4，能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）假設存在，設Q（x，y），由∠MQN為鈍角，知

QM

•

QN

＜0，從而得到

QM

•

QN

=x2+y2-3＜0，與

x2

4

+y2=1聯(lián)立，能求出Q點橫坐標的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵且焦距為2

3

，長軸長為4，
∴a=2，c=

3

，b²=4-3=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）假設存在，設Q（x，y），
∵∠MQN為鈍角，∴

QM

•

QN

＜0，
∵焦點M（-

3

，0）、N（

3

，0），
∴

QM

=(-

3

-x，-y)，

QN

=(

3

-x．-y)，
∴

QM

•

QN

=x2+y2-3＜0，
又∵Q點在橢圓上，∴

x2

4

+y2=1，
聯(lián)立兩式，得：x2+1-

x2

4

-3＜0，
化簡，得x2＜

8

3

．
解得出Q點橫坐標的取值范圍是（-

2 6

3

，

2 6

3

）．
∴橢圓C上存在一點Q，使得∠MQN為鈍角，Q點橫坐標的取值范圍是（-

2 6

3

，

2 6

3

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足鈍角的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量數量積的靈活運用．