Question

10．A、B兩個班共有65名學生，為調查他們的引體向上鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生引體向上的測試數(shù)據(jù)（單位：個），用莖葉圖記錄如下：
（I） 試估計B班的學生人數(shù)；
（II） 從A班和B班抽出的學生中，各隨機選取一人，A班選出的人記為甲，B班選出的人記為乙，假設所有學生的測試相對獨立，比較甲、乙兩人的測試數(shù)據(jù)得到隨機變量ξ．規(guī)定：
當甲的測試數(shù)據(jù)比乙的測試數(shù)據(jù)低時，記ξ=-1，
當甲的測試數(shù)據(jù)與乙的測試數(shù)據(jù)相等時，記ξ=0，
當甲的測試數(shù)據(jù)比乙的測試數(shù)據(jù)高時，記ξ=1．
求隨機變量ξ的分布列及期望．
（III） 再從A、B兩個班中各隨機抽取一名學生，他們引體向上的測試數(shù)據(jù)分別是10，8（單位：個），這2個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記μ₁，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ₀，試判斷μ₀和μ₁的大�。ńY論不要求證明）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知，抽出的13名學生中，來自B班的學生有7名．根據(jù)分層抽樣方法，能求出B班的學生人數(shù)．
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為-1，0，1，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的概率分布列及期望．
（Ⅲ）利用數(shù)學期望的性質能求出μ₁＞μ₀．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意可知，抽出的13名學生中，來自B班的學生有7名．
根據(jù)分層抽樣方法，B班的學生人數(shù)估計為$65×\frac{7}{13}=35$（人）．…（3分）
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為-1，0，1，
$P（ξ=-1）=\frac{12}{6×7}=\frac{2}{7}$，
$P（ξ=0）=\frac{4}{6×7}=\frac{2}{21}$，
$P（ξ=1）=1-P（ξ=-1）-P（ξ=0）=\frac{13}{21}$，
則ξ的概率分布列為：

ξ	-1	0	1
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{21}$	$\frac{13}{21}$

$Eξ=-1×\frac{2}{7}+0×\frac{2}{21}+1×\frac{13}{21}=\frac{1}{3}$．…（11分）
（Ⅲ）μ₁＞μ₀．…（13分）

點評 本題考查分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．