Question

將數(shù)列{a_n}按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形數(shù)表，并同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①各行的第一個(gè)數(shù)a₁，a₂，a₅，…構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列；②從第二行起，每行各數(shù)按從左到右的順序都構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列．若a₁=1，a₃=4，a₅=3．
（Ⅰ）求d，q的值；
（Ⅱ）求第n行各數(shù)的和T．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，可求得d=1，又a₃=a₂q=（a₁+d）q，可求得q=2；
（Ⅱ）記第n行第1個(gè)數(shù)為A，易求A=n；據(jù)此數(shù)表的排列規(guī)律可知：每行的總個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，而第n行共有（2n-1）個(gè)數(shù)，第n行各數(shù)為以n為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，于是可求得第n行各數(shù)的和T．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得a₅=a₁+2d，∴3=1+2d，
所以d=1．…（2分）
又∵a₃=a₂q=（a₁+d）q，q=2，
所以d，q的值分別為1，2．…（6分）
（Ⅱ）記第n行第1個(gè)數(shù)為A，
由（1）可知：A=a₁+（n-1）d=n，…（7分）
又根據(jù)此數(shù)表的排列規(guī)律可知：每行的總個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以第n行共有（2n-1）個(gè)數(shù)，…（9分）
∴第n行各數(shù)為以n為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)列，
因此其總數(shù)的和T=

n(1-22n-1)

1-2

=n•2^2n-1-n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查方程思想與運(yùn)算推理能力，（Ⅱ）中判斷出每行的總個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列是關(guān)鍵，突出考查歸納推理，屬于難題．