Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a²_n-a_n+λ．
（I）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，若存在，求出λ的值；不存在，說明理由；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，證明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （I）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可得（2+λ）²=2（λ²+4λ+2），從而解得λ=0或λ=-4，從而討論可知數(shù)列為等比數(shù)列；
（Ⅱ）可證明a_n＞n（n-1），（n≥3），從而利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（I）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∵a₁=2，a₂=a²₁-a₁+λ=4-2+λ=2+λ，
a₃=a²₂-a₂+λ=4-2+λ=λ²+4λ+2，
∴（2+λ）²=2（λ²+4λ+2），
解得，λ=0或λ=-4，
當(dāng)λ=0時(shí)，a_n=2，
故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列；
當(dāng)λ=-4時(shí)，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n為奇數(shù)}\\{-2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列；
綜上所述，λ=0或λ=-4．
（Ⅱ）證明：當(dāng)λ=1時(shí)，a_n+1=a²_n-a_n+1=a_n（a_n-1）+1，
∵a₁=2，
∴a₂=a₁（a₁-1）+1=3，
a₃=a₂（a₂-1）+1=7＞2×3，
a₄=a₃（a₃-1）+1=43＞3×4，
不妨設(shè)a_n＞n（n-1），（n≥3），
則a_n+1=a_n（a_n-1）+1＞n（n-1）（n（n-1）-1）+1＞n（n+1）；
故$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$
＜$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$＜1．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．