Question

15．如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點．
求：
（1）$\overrightarrow{PM}$與$\overrightarrow{FQ}$所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離；
（3）異面直線PM與FQ的距離．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{PM}$與$\overrightarrow{FQ}$的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求出兩向量所成的角；
（2）設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，根據(jù)條件建立方程組，求出$\overrightarrow{n}$，設(shè)所求距離為d，利用d=|$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{n}$|=進(jìn)行求解即可．
（3）求出兩異面直線的公垂線上的方向向量，即可求出異面直線PM與FQ的距離．

解答 解：建立空間直角坐標(biāo)系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），則由中點坐標(biāo)公式得P（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$）、Q（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0）．
（1）∴$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FQ}$=（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-a），
$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{FQ}$=（-$\frac{a}{2}$）×$\frac{a}{2}$+0+$\frac{a}{2}$×（-a）=-$\frac{3}{4}$a²，且|$\overrightarrow{PM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，|$\overrightarrow{FQ}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a．
∴cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{FQ}$＞=$\frac{-\frac{3}{4}{a}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故得兩向量所成的角為150°．
（2）設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面EFB的單位法向量，即|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{n}$⊥平面EFB，
∵$\overrightarrow{EF}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{EB}$=（0，a，-a），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\\{-ax+ay=0}\\{ay-az=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$）．
設(shè)所求距離為d，則d=|$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
（3）設(shè)$\overrightarrow{e}$=（x₁，y₁，z₁）是兩異面直線的公垂線上的方向向量，則由$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FQ}$=（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-a），
得求得其中的一個$\overrightarrow{e}$=（1，-1，1），
而$\overrightarrow{MF}$=（0，a，0）．設(shè)所求距離為m，則m=$\frac{|\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

點評 本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．