Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，2）．
（Ⅰ）若

a

∥

b

，求tanθ的值；    
（Ⅱ）若|

a

|=|

b

|，求sin（2θ+

π

4

）的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由

a

∥

b

，即x₁y₂-x₂y₁=0，代入數(shù)據(jù)求出tanθ的值；    
（Ⅱ）由|

a

|=|

b

|，即

sin2θ+(cosθ-2sinθ)2

=

12+22

；化簡，求出sin（2θ+

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，2），
當(dāng)

a

∥

b

時，2sinθ-（cosθ-2sinθ）=4sinθ-cosθ=0，
∴tanθ=

1

4

；    
（Ⅱ）∵|

a

|=|

b

|，
即

sin2θ+(cosθ-2sinθ)2

=

12+22

；
兩邊平方，得
sin²θ+cos²θ-4sinθcosθ+4sin²θ=5，
即1-2sin2θ+4×

1-cos2θ

2

=5，
∴sin2θ+cos2θ=-1，
∴sin（2θ+

π

4

）=-

2

2

．

點評：本題考查了平面向量的坐標表示的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)根據(jù)平面向量的平行與模長，利用坐標表示，求出所要解答的問題．