Question

已知f（x）=2sinx+1+a是一個奇函數(shù)．
（1）求a的值和f（x）的值域；
（2）設(shè)ω＞0，若y=f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
（3）設(shè)|θ|＜

π

2

，若對x取一切實數(shù)，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，求θ的取值范圍．（公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB）

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，先求出a的值，再求出值域，
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出，
（3）由題意，根據(jù)三角函數(shù)積化和差，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，得到cos（2θ）＞-

1

2

，繼而求出范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2sinx+1+a是一個奇函數(shù)．
∴f（0）=0，0=2sin0+1+a，
∴a=-1，
∴f（x）=2sinx，
∴f（x）的值域為[-2，2]．
（2）∵-

π

2

≤x≤

2π

3

，ω＞0
∴-

ωπ

2

≤ωx≤

2ωπ

3

，
∴

- π 2 ≤- ωπ 2 2ωπ 3 ≤ π 2

解得0＜ω≤

3

4

故ω取值范圍為（0，

3

4

]
（3）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x），
∴4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，
∴4-2（cos（2x）-cos（2θ））＞4sinx
∴4-2（1-2sin²x）+2cos（2θ）-4sinx＞0，
∴4sin²x-4sinx+1+1+2cos（2θ）＞0
∴（2sinx-1）²+1+2cos（2θ）＞0，
∵（2sinx-1）²≥0，所以前面式子要對任意x都成立，須1+2cos（2θ）＞0，
即：cos（2θ）＞-

1

2

，又|θ|＜

π

2

，
故-π＜2θ＜π
所以：-

2

3

π3＜2θ＜

2

3

π，
即：-

π

3

＜θ＜

π

3

，
故θ的取值范圍（-

π

3

，

π

3

）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的值域，單調(diào)性，以及奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．