已知數(shù)列{an}的首項a1=3,前n項和為Sn,且Sn+1=3Sn+2n(n∈N*).
(Ⅰ)試判斷數(shù)列{an+1}是否成等比數(shù)列?并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)記Tn為數(shù)列{an+1}的前n項和,求
Tn+
1
2
Tn+2n
的最小值.
考點:數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知條件推導出an+1+1=3(an+1),(n≥2),但a1+1=4,不符合上式,由此{an+1}不是等比數(shù)列,由此求出an=
3,n=1
3n-1,n≥2

(Ⅱ)由an+1=
4,n=1
3n,n≥2
,知Tn=4+9+27+…+3n=
3n+1-1
2
,
Tn+
1
2
Tn+2n
=
1
1+(
2
3
)n+1-(
1
3
)n+1
,由此推導出{
Tn+
1
2
Tn+2n
}為遞增數(shù)列,從而能求出
Tn+
1
2
Tn+2n
的最小值.
解答: 解:(Ⅰ)由Sn+1=3Sn+2n,Sn=3Sn-1+2(n-1),
兩式相減,得:
an+1=3an+2,n≥2,
an+1+1=3(an+1),(n≥2),但a2+1=9,
a1+1=4,不符合上式,
∴{an+1}不是等比數(shù)列,
∴an+1=
4,n=1
3n,n≥2
,
an=
3,n=1
3n-1,n≥2

(Ⅱ)an+1=
4,n=1
3n,n≥2
,
Tn=4+9+27+…+3n=
3n+1-1
2
,
Tn+
1
2
Tn+2n
=
3n+1
3n+1-1+2n+1
=
1
1+(
2
3
)n+1-(
1
3
)n+1

bn=(
2
3
)n+1-(
1
3
)n+1+1
,
bn-bn+1=
2-2n
3n+1
<0,n≥2,0<bn<bn-1
1
bn
1
bn-1
,
∴{
Tn+
1
2
Tn+2n
}為遞增數(shù)列,∴n=1時,
Tn+
1
2
Tn+2n
取最小值
3
4
點評:本題考查數(shù)列是否為等比數(shù)列的判斷,考查數(shù)列的通項公式的求法,考查數(shù)列的最小值的求法,是中檔題.
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已知f(x)為偶函數(shù),且f(2+x)=f(2-x),當-2≤x≤0時,f(x)=2x;若n∈N*,an=f(n),則a2013=( 。
A、2013
B、-2013
C、
1
2
D、
1
4

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設U為全集,P,Q為非空集合,且P?Q?U,下面結論中不正確的是( 。
A、(∁UP)∪Q=U
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D、(∁UQ)∩P=∅

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(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)設函數(shù)g(x)=f(x)-k;
①討論函數(shù)g(x)的零點個數(shù);
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π
4
,
6
],使不等式g(x)≥k2+5成立,求k的取值范圍.

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已知
1
3
≤x≤27,求函數(shù)y=log3(3x)•log3
x
9
)值域.

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a
x
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(1)若方程f(x)=0與g(x)=0至少有一個有實根,求實數(shù)m的范圍;
(2)若方程g(x)=0在區(qū)間(-∞,-2)與(-2,1)各有一個實根,求實數(shù)m的范圍.

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