Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求h（x）=f（x）+g（x）的最小值；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）證明：

n

k=1

1

k

＞

nln(2e)

2

-

1

2

ln（n!）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）將a=2帶人，得出h（x），利用求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求出最小值．
（2）判斷函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，有無最值，要是最大值，根據(jù)條件需限制它大于0，若是最小值需限制它小于0，從而求出a的取值范圍．
（3）你可以把要證明的不等式展開，只要證明展開后的不等式即可．通過觀察展開后的式子，要用上第一問的結(jié)論，這一點(diǎn)很關(guān)鍵，用上這個(gè)結(jié)論，答案很容易解出了．

解答： 解：（1）a=2時(shí)，h（x）=lnx+

2

x

，則h′（x）=

x-2

x2

，所以0＜x＜2時(shí)，h′（x）＜0；x＞2時(shí)，h′（x）＞0；
所以，h（x）的最小值是h（2）=ln2+1．
（2）h（x）=lnx+

a

x

，則h′（x）=

x-a

x2

，所以x∈（0，a）時(shí)，h′（x）＜0；x∈（a，+∞）時(shí)，h′（x）＞0；
所以，x=a時(shí)，h（x）取最小值h（a）=lna+1；
∵h(yuǎn)（x）在（0，+∞）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴l(xiāng)na+1＜0，∴0＜a＜

1

e

．
（3）要證

n

k=1

1

k

＞

nln(2e)

2

-

1

2

ln(n!)；
即證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n(ln2+1)

2

-

1

2

(ln1+ln2+ln3+…+lnn)
由（1）知：x＞0時(shí)，lnx+

2

x

≥ln2+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取“=”．
∴

1

2

lnx+

1

x

≥

ln2+1

2

即：

1

x

≥

ln2+1

2

-

1

2

lnx；
∴1＞

ln2+1

2

-

1

2

ln1

1

2

≥

ln2+1

2

-

1

2

ln2

1

3

＞

ln2+1

2

-

1

2

ln3
…

1

n

＞

ln2+1

2

-

1

2

lnn
以上各式相加得：

n

k=1

1

k

＞

1

2

ln(n!)．

點(diǎn)評(píng)：第一二問都用到了求導(dǎo)數(shù)的方法，而第二問求a的取值范圍，注意對(duì)最值的限制就可以了．最后一問的關(guān)鍵就是用上第一問的結(jié)論，這需要你的觀察能力．