Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（﹣1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于﹣ ．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為點B與A（﹣1，1）關于原點O對稱，所以點B得坐標為（1，﹣1）．

設點P的坐標為（x，y）

化簡得x2+3y2=4（x≠±1）．

故動點P軌跡方程為x2+3y2=4（x≠±1）

（2）解：若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設點P的坐標為（x0，y0）

則 ．

因為sin∠APB=sin∠MPN，

所以

所以 =

即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得

因為x02+3y02=4，所以

故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為（ ）

【解析】（1）設點P的坐標為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關系即可得到關系式，化簡后即為動點P的軌跡方程；（2）對于存在性問題可先假設存在，由面積公式得： ．根據角相等消去三角函數得比例式，最后得到關于點P的縱坐標的方程，解之即得．
【考點精析】掌握點到直線的距離公式是解答本題的根本，需要知道點到直線的距離為：．