Question

已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2）=0，且在（-∞，0）上是增函數(shù)；又定義行列式

.

a1 a2 a3 a4

.

=a1a4-a2a3； 函數(shù)g(θ)=

.

sinθ 3-cosθ m sinθ

.

 （其中0≤θ≤

π

2

）．
（1）若函數(shù)g（θ）的最大值為4，求m的值．
（2）若記集合M={m|恒有g(shù)（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，由定義表示出g（θ），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可表示出其最大值，令其為4可求m值；
（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，則M={m|恒有g(shù)（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g(shù)（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，從而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，轉(zhuǎn)化為不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，

π

2

]恒成立，分離出參數(shù)m后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，變形后借助“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)可求得最值；

解答： 解：（1）f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函數(shù)，
g（θ）=sin²θ-m（3-cosθ）=-cos²θ+mcosθ-3m+1=-(cosθ-

m

2

)2+

m2

4

-3m+1，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（

m

2

≤0），cosθ=1（

m

2

≥1），cosθ=

m

2

(0＜

m

2

＜1)處取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，則有1-3m=4，m=-1，此時(shí)

m

2

=-

1

2

，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，則有-2m=4，m=-2，此時(shí)

m

2

=-1，不符合；
若cosθ=

m

2

，g（θ）=4，則有

m2

4

-3m+1=4，m=6+4

3

或m=6-4

3

，此時(shí)

m

2

=3+2

3

或3-2

3

，不符合；
綜上，m=-1．
（2）∵f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，且滿足f（2）=0，∴f（-2）=0，
又f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上均是增函數(shù)，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g(shù)（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g(shù)（θ）＜-2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜-cos²θ+mcosθ-3m+1＜2在θ∈[0，

π

2

]恒成立，
當(dāng)m＞

-1-cos2θ

3-cosθ

=

-(3-cosθ)2+6(3-cosθ)-10

3-cosθ

=-（3-cosθ）-（

10

3-cosθ

）+6=-[（3-cosθ）+（

10

3-cosθ

）]+6，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴cosθ∈[0，1]，3-cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3-cosθ）+（

10

3-cosθ

）≥

19

3

，-[（3-cosθ）+（

10

3-cosθ

）]+6∈[-1，-

1

3

]，
此時(shí)，m＞-

1

3

；
當(dāng)m＜

1-cos2θ

3-cosθ

=

-(3-cosθ)2+6(3-cosθ)-8

3-cosθ

=-（3-cosθ）-（

8

3-cosθ

）+6
=-[（3-cosθ）+（

8

3-cosθ

）]+6，
∴6≥（3-cosθ）+（

8

3-cosθ

）≥4

2

，-[（3-cosθ）+（

8

3-cosθ

）]+6∈[0，6-4

2

]，
此時(shí)，m＜0；
綜上，m∈（-

1

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用、二次函數(shù)“對(duì)勾函數(shù)”的性質(zhì)，考查恒成立問題，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力．