Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，，且．

（1）求數(shù)列前20項(xiàng)的和；

（2）求通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)的前項(xiàng)和為，問：是否存在正整數(shù)、，使得？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的正整數(shù)對(duì)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）所有的符號(hào)條件的正整數(shù)對(duì)，有且僅有和兩對(duì)，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)遞推公式直接代入求出各項(xiàng)，再分類求和即可.

（2）對(duì)根據(jù)的奇偶性進(jìn)行分類討論，判斷出數(shù)列的性質(zhì)，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）根據(jù)分組求和法求出的表達(dá)式，然后根據(jù)可以求出的表達(dá)式，最后根據(jù)題意，得到的表達(dá)式，可以確定的取值范圍，然后根據(jù)的取值范圍，逐一取正整數(shù)進(jìn)行判斷即可.

（1）

（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，．所以，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，．

又，，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列．

因此，

（3）

，

．

所以，若存在正整數(shù)、，使得，則

．

顯然，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由，整理得．顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以是符合條件的一個(gè)解．

當(dāng)時(shí)，

．

當(dāng)時(shí)，由，整理得，所以是符合條件的另一個(gè)解．

綜上所述，所有的符號(hào)條件的正整數(shù)對(duì)，有且僅有和兩對(duì)．