Question

【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點(diǎn)，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）利用分段函數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)論；

（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積共公式以及三角恒等變換，化簡(jiǎn)的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得的范圍．

（1）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，理由如下：

當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)時(shí)，有；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，有，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（2）由向量，，，

所以，，

令，，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，使得，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn).

（3）由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，

①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，

只需，即，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

②當(dāng)，即時(shí)，若使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有零點(diǎn)，

則，解得或，

所以，，

i當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，即，符合題意，

ii當(dāng)時(shí)，若使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點(diǎn)，只需，

即，解得，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.

③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，只需，即，解得，

當(dāng)時(shí)，令，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上具有唯一零點(diǎn)，符合題意，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.