Question

不等式組

x≤2 y≥0 y≤x-1

且u=x²+y²-4y，則u的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖△ABC及其內(nèi)部．設(shè)P（x，y）、D（0，2），

x2+(y-2)2

=|DP|，而u=x²+（y-2）²-1=|OP|²-1，因此運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并加以觀察可得|DP|的最小值，即可算出u的最小值．

解答： 解：作出不等式組

x≤2 y≥0 y≤x-1

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（1，3），B（3，5），C（3，1）
設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則u=x²+y²-4y=x²+（y-2）²-1，
∵

x2+(y-2)2

=|DP|表示D、P兩點(diǎn)距離，
其中D（0，2），P（x，y）在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)P與A重合時(shí)|DP|=

12+(3-2)2

=

2

達(dá)到最小值，
同時(shí)u=x²+（y-2）²-1=1達(dá)到最小值，可得u的最小值為1．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，求一個(gè)二次式的最小值．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．