Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（a，0）（a≠0），圓C的圓心在直線y=-4x上，并且與直線l：x+y-1=0相切于點P（3，-2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若動點M滿足|MA|=2|MO|，求點M的軌跡方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a，使得|CM|的取值范圍是[1，9]，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設出圓心與半徑，根據圓C的圓心在直線y=-4x上，可得圓心C（a，-4a），利用圓與直線l：x+y-1=0相切于點P（3，-2），根據點到直線的距離公式，即可求出圓心與半徑，從而可求圓C的方程；
（Ⅱ）根據動點M滿足|MA|=2|MO|，建立方程，化簡可求點M的軌跡方程；
（Ⅲ）分類討論，圓D與圓C外離；圓C內含于圓D，根據|CM|的取值范圍是[1，9]，即可求出實數a的值．

解答： 解：（Ⅰ）設所求圓的圓心坐標為C（a，b），半徑為r．
因為圓心C（a，b）在直線y=-4x上，
所以b=-4a，即圓心C（a，-4a）．
因為圓C與直線l：x+y-1=0相切于點P（3，-2），
所以圓心C（a，-4a）到直線l的距離d=|PC|．
即 

|a-4a-1|

2

=

(a-3)2+(-4a+2)2

．
整理得：a²-2a+1=0．
解得：a=1．
所以圓C的方程為（x-1）²+（y+4）²=8…（4分）
（Ⅱ）設M（x，y）．
因為|MA|=2|MO|，所以

(x-a)2+y2

=2

x2+y2

．
整理得 (x+

a

3

)2+y2=

4a2

9

．
即點M的軌跡是以D(-

a

3

，0)為圓心，r=

2

3

|a|為半徑的圓D．…（8分）
（Ⅲ）存在實數a，使得|CM|的取值范圍是[1，9]．
（1）當圓D與圓C外離時，依題意可得：

|CD|+r=9 |CD|-r=1.

，即

|CD|=5 r=4.

．
由|CD|=5解得a=6或-12；由r=4解得a=6或-6，
所以a=6．
（2）當圓C內含于圓D時，依題意可得：

r+|CD|=9 r-|CD|=1.

即

|CD|=4 r=5.

由|CD|=

(1+ 1 3 a)2+16

=4，解得a=-3．
此時r=

2

3

|-3|=2，與r=5矛盾．
綜上所述，存在實數a=6，使得|CM|的取值范圍是[1，9]．…（13分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查圓與圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．