Question

已知a_n=（2n+1）•（

3

4

）^n-1，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，并求其范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，確定其單調(diào)性，即可求其范圍．

解答： 解：由題意，S_n=3+5•

3

4

+…+（2n+1）•（

3

4

）^n-1，①
∴

3

4

S_n=3•

3

4

+5•（

3

4

）²+…+（2n+1）•（

3

4

）ⁿ，②
①-②可得

1

4

S_n=3+2•

3

4

+2•（

3

4

）²+…2•（

3

4

）^n-1-（2n+1）•（

3

4

）ⁿ，
∴S_n=36-24•（

3

4

）^n-1-4（2n+1）•（

3

4

）ⁿ=36-（6n+27）•（

3

4

）^n-1，
令f（n）=（6n+27）•（

3

4

）^n-1，則f（n-1）=（6n+21）•（

3

4

）^n-2，
∴

f(n)

f(n-1)

=

6n+27

8n+28

＜1，
∴函數(shù)f（n）是單調(diào)遞減的，
∴f（n）≤f（1）=33，
∴S_n≥33．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．