Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）+1的（-π＜ϕ＜0）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=

π

8

．
（1）求φ的值；
（2）求y=f（x）的增區(qū)間；
（3）證明直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)當(dāng)x=

π

8

時(shí)，sin（2×

π

8

+ϕ）取得最值．再結(jié)合-π＜ϕ＜0，可得ϕ的值．
（2）函數(shù)f（x）的增區(qū)間即函數(shù)y=sin（2x-

3π

4

）的增區(qū)間．令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（3）求出f′（x）的范圍是[-2，2]，可得曲線(xiàn)f（x）的切線(xiàn)斜率的范圍是[-2，2]，而直線(xiàn)5x-2y+c=0的斜率為

5

2

∉[-2，2]，可得直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

解答： 解：（1）由題意可得，當(dāng)x=

π

8

時(shí)，sin（2×

π

8

+ϕ）取得最值，
∴2×

π

8

+ϕ=kπ+

π

2

，k∈Z．
再結(jié)合-π＜ϕ＜0，可得 ϕ=-

3π

4

．
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）=2sin（2x-

3π

4

）+1，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間即函數(shù)y=sin（2x-

3π

4

）的增區(qū)間．
令2kπ-

π

2

≤2x-

3π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（3）∵f（x）′=[sin（2x-

3π

4

）+1]′=2cos（2x-

3π

4

）∈[-2，2]，
故曲線(xiàn)f（x）的切線(xiàn)斜率的范圍是[-2，2]，
而直線(xiàn)5x-2y+c=0的斜率為

5

2

∉[-2，2]，
∴直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)y=f（x）的圖象不相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．