Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+6．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0對(duì)x＜0恒成立，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分△≤0，△＞0兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得解集；
（2）分離出參數(shù)a后化為函數(shù)最值即可，利用基本不等式可求函數(shù)的最小值；

解答： 解：（1）f（x）＜0即x²+ax+6＜0，
△=a²-24，
當(dāng)△≤0，即a≤-2

6

或a≥2

6

時(shí)，解集為∅；
當(dāng)△＞0即-2

6

＜a＜2

6

時(shí)，方程f（x）=0的根為x1，2=

-a± a2-24

2

，
f（x）＜0的解集為：{x|

-a- a2-24

2

＜a＜

-a+ a2-24

2

}．
綜上，當(dāng)a≤-2

6

或a≥2

6

時(shí)，不等式的解集為∅；當(dāng)-2

6

＜a＜2

6

時(shí)，不等式的解集為{x|

-a- a2-24

2

＜a＜

-a+ a2-24

2

}．
（2）f（x）＞0即x²+ax+6＞0恒成立，
當(dāng)x＜0時(shí)，可化為a＜-x-

6

x

，
而-x-

6

x

≥2

(-x)•( 6 -x )

=2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)x=-

6

時(shí)取等號(hào)，
∴a＜2

6

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立、二次不等式的解法，考查分類討論思想，深刻理解“三個(gè)二次”間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．