Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個“穩(wěn)定區(qū)間”，現(xiàn)有四個函數(shù)：
①f（x）=x²；
②f（x）=sin（

π

2

x）；
③f（x）=lnx
④f（x）=x³-3x
其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)為（　�。�

• A、①
• B、①②
• C、①②③
• D、①②④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：新定義

分析：是否存在穩(wěn)定區(qū)間，即方程f（x）=x在給定區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相相等的實(shí)數(shù)根，如果存在，即存在穩(wěn)定區(qū)間，否則就不存在．

解答： 解：①如取區(qū)間[0，1]，所以①正確；
②如取區(qū)間[0，1]，所以②正確；
③令g（x）=f（x）-x=lnx-x，則g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=-1＜0，∴g（x）沒有零點(diǎn)，即不存在穩(wěn)定區(qū)間；
④存在穩(wěn)定區(qū)間[0，2]，所以④正確．
故選：D．

點(diǎn)評：對于新定義題目，讀懂題意，理解題意是關(guān)鍵，這種題型在近幾中經(jīng)常出現(xiàn)，所以平時要多多接觸．