Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，為橢圓C上一點，且的中點B在y軸上，.

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）若直線交橢圓于P、Q兩點，若PQ的中點為N，O為原點，直線ON交直線于點M，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由BO為的中位線，可求出，由此可設(shè)，代入橢圓方程，聯(lián)立，，即可求出，，從而得到橢圓方程；

（2）設(shè)、，聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求出PQ的中點N的坐標，再由弦長公式求出，由點N的坐標寫出直線ON的方程，求出點M.的坐標，再由兩點間距離公式求出，然后求，換元法求出其最大值.

（1）因為B為的中點， O為線段的中點，

所以BO為的中位線，所以，

又因為，所以，所以可設(shè)

又為橢圓C上一點，所以將代入橢圓方程可得

又，，聯(lián)立解得，，

故所求橢圓方程為；

（2）由直線方程為，

聯(lián)立，可得.

設(shè)、，則，，

所以為；

所以PQ的中點N坐標為，

因此直線ON的方程為，

從而點M為，又，所以，

設(shè)，令，則，

所以，

因此當，即時取得最大值.