我們把在線段上到兩端點(diǎn)距離之比為
5
-1
2
≈0.618的點(diǎn)稱為黃金分割點(diǎn)．類似地，在解析幾何中，我們稱離心率為
5
-1
2
的橢圓為黃金橢圓，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的焦距為2c，則下列四個(gè)命題：
①a、b、c成等比數(shù)列是橢圓為黃金橢圓的充要條件；
②若橢圓是黃金橢圓且F2為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，A1為左頂點(diǎn)，則
BA1
•
BF2
=0
③若橢圓是黃金橢圓，直線l過橢圓中心，與橢圓交于點(diǎn)E、F，P為橢圓上任意一點(diǎn)（除頂點(diǎn)外），且PE與PF的斜kPE、kPF存在，則kPE•kPF為定值．
④若橢圓是黃金橢圓，P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為PQ中點(diǎn)，且PQ與OM的斜率kPQ與kOM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）存在，則kPQ•kOM為定值．
⑤橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的內(nèi)切圓過橢圓的焦點(diǎn)是橢圓為黃金橢圓的充要條件．
其中正確命題的序號(hào)為
 
．
考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用
專題：簡易邏輯
分析：對(duì)于①：利用a，b，c的關(guān)系以及離心率公式求出e，同時(shí)再倒著推回來，如果能夠互相推出，則結(jié)論成立；
對(duì)于②：由①知，a，b，c成等比，據(jù)此進(jìn)一步推理，可以得到②成立；
對(duì)于③：由題意給出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)（注意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)），由此給出斜率之積，判斷其是否為定值；
對(duì)于④：設(shè)點(diǎn)法，給出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)與P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，容易推導(dǎo)出需要的結(jié)論；
對(duì)于⑤：實(shí)際上利用橢圓的幾何性質(zhì)，容易得到原點(diǎn)到菱形邊的距離，用a，b，c去表示，只要能夠得到a，b，c成等比即可．
解答： 解：對(duì)于①：若a，b，c成等比數(shù)列，則b2=ac，即a2-c2=ac，兩邊同除以a2得1-e2=e，解得e=
-1±
5
2
（負(fù)值舍去），故e=
-1+
5
2
，反之若e=
-1+
5
2
，則1-e2=e，即1-
c2
a2
=
c
a
，即a2-c2=ac，即b2=ac，故①為真命題；
對(duì)于②：橢圓是黃金橢圓，由（1）知，b2=ac，由題意F2（c，0），B（0，b），A1（-a，0），所以
BA1
•
BF2
=(-a，-b)•(c，-b)=b2-ac=0，即b2=ac．故②成立；
對(duì)于③：設(shè)E（x，y），F(xiàn)（-x，-y），P（m，n），則kPE=
n-y
m-x
，kPF=
n+y
m+x
，又
x2
a2
+
y2
b2
=1（1），
m2
a2
+
n2
b2
=1（2）
（2）-（1）式得
m2-x2
a2
+
n2-y2
b2
=0，化簡得
(m-x)(m+x)
a2
+
(n-y)(n+y)
b2
=0，即
(n-y)(n+y)
(m-x)(m+x)
=-
b2
a2
，即kPE•kPF=-
b2
a2
（定值），故③真命題；
對(duì)于④：設(shè)P（x1，y1）Q（x2，y2），PQ中點(diǎn)為（m，n），則kPQ=
y1-y2
x1-x2
，kOM=
n
m
=
y1+y2
2
x1+x2
2
=
y1+y2
x1+x2
（*）
則
x12
a2
+
x22
b2
=1，
x22
a2
+
y22
b2
=1，兩式相減得
(x1-x2)(x1+x2)
a2
+
(y1-y2)(y1+y2)
b2
=0
即
(y1-y2)(y1+y2)
(x1-x2)(x1+x2)
=-
b2
a2
，結(jié)合（*）可知kPQ•kOM=-
b2
a2
（定值）故④是真命題；
對(duì)于⑤：設(shè)左頂點(diǎn)A（-a，0），上頂點(diǎn)B（0，b），則直線AB的方程為bx-ay+ab=0，由題意原點(diǎn)到直線AB的距離
ab
a2+b2
=c，即a2b2=a2c2+b2c2，
即（a2-c2）b2=a2c2，即b4=（ac）2，所以b2=ac，結(jié)合①可知，該橢圓是黃金橢圓，上面過程可逆推回去，所以是充要條件，故⑤真命題．
故答案為：①②③④⑤
點(diǎn)評(píng)：此題難度較大，作為一個(gè)填空題，綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，其中第③④個(gè)命題利用了坐標(biāo)法解決問題，要注意設(shè)而不求的解法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=
25
4
，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）試討論直線l與圓C的位置關(guān)系，并敘述理由；
（2）求直線被圓C截得的弦長最小時(shí)l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某班共有6個(gè)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，本學(xué)期初有其它班的3名同學(xué)準(zhǔn)備加入到這6個(gè)小組中去，則這3名同學(xué)恰好有2人安排在同一個(gè)小組的概率是（　�。�
A、
1
5
B、
5
24
C、
10
81
D、
5
12

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2-ax-lnx（x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若（
2
2
+x）2n=a0+a1x+…+a2nx2n，則
lim
n→∞
[（a0+a2+…+a2n）2}-（a1+a3+…+a2n-1）2]=（　�。�
A、1
B、
2
2
C、0
D、-1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠
1
a
）滿足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1，且使f（x）=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}滿足a1=
2
3
，an+1=f（an），bn=-5-4
an
1-an
，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若cn=
1
bn+(-1)n
，Sn=c1+c2+c3+…+cn，求證：Sn＜
3
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）、g（x）在（a，b）上是增函數(shù)，且a＜g（x）＜b，求證：f（g（x））在（a，b）上也是增函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=-2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=|log2（x+1）|的圖象大致是（　　）
A、
B、
C、
D、

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案