Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ax+2，g（x）=aln（x-1）-2a+6（a為常數(shù)），
（1）當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)h（x）=xf（x）有對(duì)稱中心為A（1，0），求證：函數(shù)h（x）的切線L在切點(diǎn)處穿過(guò)h（x）圖象的充要條件是L恰為函數(shù)在點(diǎn)A處的切線．（直線穿過(guò)曲線是指：直線與曲線有交點(diǎn)，且在交點(diǎn)左右附近曲線在直線異側(cè)）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax+2a-4-aln（x-1），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F（x）_min≥0，求導(dǎo)數(shù)F′(x)=2x-a-

a

x-1

=

x[2x-(a+2)]

x-1

，令：F′(x)=0得：x=0，x=1+

a

2

，按照極值點(diǎn)1+

a

2

在區(qū)間[2，+∞）左側(cè)、內(nèi)部?jī)煞N情況討論可求得函數(shù)最小值；
（2）由h（x）關(guān)于（1，0）對(duì)稱知h（x+1）為奇函數(shù)，則h（1）=0，從而可求得a，證明充分性：求出點(diǎn)A處切線L的方程y=1-x，構(gòu)造函數(shù)t（x）=h（x）-（1-x）=x³-3x²+3x-1，只需說(shuō)明1為t（x）的零點(diǎn)，且在1左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)即可；證明必要性：若L是函數(shù)h（x）圖象在B（m，h（m））處的切線，則L方程：y=h′（m）（x-m）+h（m），構(gòu)造函數(shù)G（x）=h（x）-h′（m）（x-m）-h（m），
只需說(shuō)明B點(diǎn)即為A點(diǎn)即可，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)對(duì)極值點(diǎn)的分類討論可得；

解答： 解：（1）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax+2a-4-aln（x-1），
∴F′(x)=2x-a-

a

x-1

=

x[2x-(a+2)]

x-1

，
令：F′(x)=0得：x=0，x=1+

a

2

，
∴當(dāng)1+

a

2

≤2即a≤2時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，F(xiàn)（x）在x∈[2，+∞）是增函數(shù)，F(xiàn)（x）最小值為F（2）=0，滿足．
當(dāng)1+

a

2

＞2即a＞2時(shí)，2＜x＜1+

a

2

時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，x＞1+

a

2

時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）在區(qū)間（2，1+

a

2

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（1+

a

2

，+∞）上為增函數(shù)，
∴F（x）最小值F(1+

a

2

)＜F(2)=0，故不合題意．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≤2；
（2）∵h(yuǎn)（x）=xf（x），關(guān)于A（1，0）對(duì)稱，則h（x+1）是奇函數(shù)，∴h（1）=0，可得a=3，
∴h（x）=x³-3x²+2x，則h′（x）=3x²-6x+2，
若L為A點(diǎn)處的切線，則切線L的斜率為h'（1）=-1，由點(diǎn)斜式可得其方程為：y=1-x，
令t（x）=h（x）-（1-x）=x³-3x²+3x-1，t′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴t（x）為增函數(shù)，而t（1）=0，∴直線L穿過(guò)函數(shù)h（x）的圖象．
若L是函數(shù)h（x）圖象在B（m，h（m））處的切線，則L方程：y=h′（m）（x-m）+h（m），
設(shè)G（x）=h（x）-h′（m）（x-m）-h（m），
則G′（x）=h′（x）-h′（m）=3x²-6x+2-3m²+6m-2=3（x-m）（x+m-2），
令G′（x）=0得：x=m，x=2-m，
當(dāng)m＜2-m，即m＜1時(shí)：x∈（-∞，m）時(shí)，G′（x）＞0，則G（x）在區(qū)間（-∞，m）為增函數(shù)，
x∈（m，2-m）時(shí)，G′（x）＜0，則G（x）在區(qū)間（m，2-m）為減函數(shù)，
從而G（x）在x=m處取得極大值，而G（m）=0，
則當(dāng)x∈（-∞，2-m）時(shí)，G（x）≤0，∴h（x）圖象在直線L的同側(cè)，
∴L不能在B（m，h（m））穿過(guò)函數(shù)h（x）圖象，
∴m＜1不合題意；
同理可證m＞1也不合題意．
∴m=1（前面已證），故B即為A點(diǎn)．、
∴原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立、函數(shù)圖象的對(duì)稱性等問(wèn)題，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題綜合性較強(qiáng)，能力要求較高．