Question

已知f(x)=ln(x+1) ， g(x)=

1

2

ax2+bx (a，b∈R)．
（1）若b=2且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=0，b=1，求證：當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f（x）-g（x）≤0恒成立；
（3）設(shè)x＞0，y＞0，證明：xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題第（1）題利用函數(shù)單調(diào)遞減，導(dǎo)函數(shù)值為負(fù)（非正）解題；第（2）題是恒成立問題，轉(zhuǎn)化為最大值問題去解；第（3）題構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到相關(guān)結(jié)論，通過化簡變形得到結(jié)果．

解答： 解：（1）當(dāng)b=2時，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x
∴h′(x)=

1

x

-ax-2．
∵h(yuǎn)（x）有單調(diào)減區(qū)間，
∴h'（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

x

＜0
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解． 
（ⅰ）當(dāng)a≥0時符合題意；
（ⅱ）當(dāng)a＜0時，△=4+4a＞0，即a＞-1．
∴a的取值范圍是（-1，+∞）．         
（2）當(dāng)a=0，b=1時，設(shè)φ（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x，
∴φ′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．    
∵x＞-1，
討論φ'（x）的正負(fù)得下表：
 
∴當(dāng)x=0時φ（x）有最大值0．
即φ（x）≤0恒成立．
∴當(dāng)x∈（-1，+∞）時，f（x）-g（x）≤0恒成立． 
（3）∵x＞0，y＞0，
∴xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

=x(lnx-ln

x+y

2

)+y(lny-ln

x+y

2

)
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)
由（2）有-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)＞-x•

y-x

2x

-y•

x-y

2y

=0
∴xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

點評：本題（1）、（2）要求學(xué)生對導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間、最值的關(guān)系相當(dāng)熟悉，第（3）題除了要求學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用之外，還要能熟練運用對數(shù)運算進行變形，才能得到本題結(jié)果．