Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a、b、c∈Z），已知方程f（x）=0在區(qū)間（-2，0）內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有4x+2≤f（x）≤8x²+12x+4，求a、b、c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)不等式恒成立，先確定c的取值范圍，以及x=-

1

2

是方程f（x）=0的一個(gè)根，建立a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而得到a，b，c的取值，然后驗(yàn)證即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有4x+2≤f（x）≤8x²+12x+4，
∴當(dāng)x=0時(shí)，不等式等價(jià)為2≤f（0）≤4，
即2≤c≤4，
當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，不等式等價(jià)為0≤f（-

1

2

）≤0，
即x=-

1

2

是方程f（x）=0的一個(gè)根，
即

1

4

a-

1

2

b+c=0，
即b=

1

2

a+2c．①
設(shè)g（x）=4x+2，h（x）=8x²+12x+4，
則g（-

1

2

）=0，h（-

1

2

）=0，
∴g'（x）=4，h'（x）=16x+12．
g'（-

1

2

）=4，h'（-

1

2

）=4，
即g（x）=4x+2是h（x）=8x²+12x+4在x=-

1

2

處的切線，
∴g（x）=4x+2也是f（x）=ax²+bx+c在x=-

1

2

處的切線，
即f'（x）=2ax+b在x=-

1

2

處的切線斜率k=f'（-

1

2

）=4=-a+b，②，
由①②得

b=4+a b= 1 2 a+2c

，
即

a=4c-8 b=4c-4

，
∵2≤c≤4，
∴當(dāng)c=2時(shí)，a=0不成立．
當(dāng)c=3時(shí)，a=4，b=8，此時(shí)f（x）=4x²+8x+3=（2x+1）（2x+3）．在區(qū)間（-2，0）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x=-

1

2

或x=-

3

2

，滿足條件．
當(dāng)c=4時(shí)，a=8，b=12，此時(shí)f（x）=8x²+12x+4=4（2x+1）（x+1）．在區(qū)間（-2，0）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x=-

1

2

或x=-1，滿足條件．
∴a=4，b=8，c=3或a=8，b=12，c=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．