設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈Z),已知方程f(x)=0在區(qū)間(-2,0)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根,且對任意實(shí)數(shù)x恒有4x+2≤f(x)≤8x2+12x+4,求a、b、c的值.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:根據(jù)不等式恒成立,先確定c的取值范圍,以及x=-
1
2
是方程f(x)=0的一個(gè)根,建立a,b,c的關(guān)系,進(jìn)而得到a,b,c的取值,然后驗(yàn)證即可得到結(jié)論.
解答: 解:∵對任意實(shí)數(shù)x恒有4x+2≤f(x)≤8x2+12x+4,
∴當(dāng)x=0時(shí),不等式等價(jià)為2≤f(0)≤4,
即2≤c≤4,
當(dāng)x=-
1
2
時(shí),不等式等價(jià)為0≤f(-
1
2
)≤0,
即x=-
1
2
是方程f(x)=0的一個(gè)根,
1
4
a-
1
2
b+c=0
,
即b=
1
2
a+2c
.①
設(shè)g(x)=4x+2,h(x)=8x2+12x+4,
則g(-
1
2
)=0,h(-
1
2
)=0,
∴g'(x)=4,h'(x)=16x+12.
g'(-
1
2
)=4,h'(-
1
2
)=4,
即g(x)=4x+2是h(x)=8x2+12x+4在x=-
1
2
處的切線,
∴g(x)=4x+2也是f(x)=ax2+bx+c在x=-
1
2
處的切線,
即f'(x)=2ax+b在x=-
1
2
處的切線斜率k=f'(-
1
2
)=4=-a+b,②,
由①②得
b=4+a
b=
1
2
a+2c

a=4c-8
b=4c-4
,
∵2≤c≤4,
∴當(dāng)c=2時(shí),a=0不成立.
當(dāng)c=3時(shí),a=4,b=8,此時(shí)f(x)=4x2+8x+3=(2x+1)(2x+3).在區(qū)間(-2,0)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x=-
1
2
或x=-
3
2
,滿足條件.
當(dāng)c=4時(shí),a=8,b=12,此時(shí)f(x)=8x2+12x+4=4(2x+1)(x+1).在區(qū)間(-2,0)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x=-
1
2
或x=-1,滿足條件.
∴a=4,b=8,c=3或a=8,b=12,c=4.
點(diǎn)評:本題主要考查不等式恒成立,利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的計(jì)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的是( 。
A、?x0∈R,ex0≤0
B、對?a>b,則ab=2,(a2+b2min=4
C、a>1,b>1是ab>1的充分條件
D、a+b=0的充要條件是
a
b
=-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足:an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通項(xiàng)an,bn

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已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2,g(x)=aln(x-1)-2a+6(a為常數(shù)),
(1)當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí)f(x)≥g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)h(x)=xf(x)有對稱中心為A(1,0),求證:函數(shù)h(x)的切線L在切點(diǎn)處穿過h(x)圖象的充要條件是L恰為函數(shù)在點(diǎn)A處的切線.(直線穿過曲線是指:直線與曲線有交點(diǎn),且在交點(diǎn)左右附近曲線在直線異側(cè))

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在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E為垂足,求證:BE⊥PD;
(2)在(1)的條件下,求異面直線AE與CD所成角的余弦值;
(3)求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又PA=AB=4,∠CDA=120°.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)設(shè)E為PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AB上,若直線EF∥平面PAD,求AF的長;
(3)求二面角A-PC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若不等式
3x2+2x+2
x2+x+1
≥m對于任意的實(shí)數(shù)x均成立,求自然數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠C=90°,側(cè)棱與底面所成的角為α(0°<α<90°),點(diǎn)B1在底面上的射影D落在BC上.
(1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(2)當(dāng)α為何值時(shí),AB1⊥BC1,且使點(diǎn)D恰為BC中點(diǎn)?
(3)(理科做)當(dāng)α=arccos
1
3
,且AC=BC=AA1時(shí),求二面角C1-AB-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若圓錐底面半徑為1,高為2,則圓錐的側(cè)面積為
 

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