Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，g（x）=x²-bx a、b∈R．
（1）若集合{x|f（x）=2x+2}只含有一個(gè)元素，試求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)m∈[2，4]，n∈[1，5]時(shí)有f（m）大于等于g（n）恒成立，試求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）=2x+2}轉(zhuǎn)化為x²+2x-a=0，利用根的判別式為0，可求若集合{x|f（x）=2x+2}只含有一個(gè)元素，實(shí)數(shù)a的值；
（2）求出f（m）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為n²-bn≤

3

2

，n∈[1，5]時(shí)恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=2x+2，即x+

a

x

=2x+2，
∴x²+2x-a=0．
∵集合{x|f（x）=2x+2}只含有一個(gè)元素，
∴△=4+4a=0，
∴a=-1；
（2）f（m）=m-

1

m

，∵m∈[2，4]，∴f（m）_min=2-

1

2

=

3

2

，
∵當(dāng)m∈[2，4]，n∈[1，5]時(shí)有f（m）大于等于g（n）恒成立，
∴n²-bn≤

3

2

，n∈[1，5]時(shí)恒成立，
∴b≥n-

3

2n

，
∵y=n-

3

2n

，n∈[1，5]時(shí)單調(diào)遞增，
∴b≥1-

3

2

=-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的最值，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．