【題目】已知雙曲線以、為焦點,且過點
(1)求雙曲線與其漸近線的方程;
(2)是否存在斜率為2的直線與雙曲線右支相交于兩點,且(為坐標原點).若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1), (2)存在,
【解析】
(1)設出雙曲線C方程,利用定義求得a,進而得b,即可求出雙曲線方程與漸近線的方程;
(2)設直線l的方程為y=2x+t,將其代入方程,設A(x1,y1),B(x2,y2),通過△>0,及韋達定理求出t的范圍,通過x1x2+y1y2=0,求解t即可得到直線方程.
(1)設雙曲線C的方程為,半焦距為c,
則c=2,,a=1,
所以b2=c2﹣a2=3,
故雙曲線C的方程為.
雙曲線C的漸近線方程為.
(2)假設直線存在,設直線l的方程為y=2x+t,將其代入方程,
可得x2+4tx+t2+3=0(*)
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程(*)的兩個根,
故
又由,可知x1x2+y1y2=0,
即x1x2+(2x1+t)(2x2+t)=0,可得,
解得(舍去)
所以存在直線l方程為.
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【題目】為考查某種疫苗預防疾病的效果,進行動物實驗,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
未發(fā)病 | 發(fā)病 | 總計 | |
未注射疫苗 | 20 | ||
注射疫苗 | 30 | ||
總計 | 50 | 50 | 100 |
現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只,取到“注射疫苗”動物的概率為.
(1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),,,的值;
(2)判斷疫苗是否有效?
(3)能夠有多大把握認為疫苗有效?
(參考公式,)
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知橢圓的右焦點為且過點橢圓C與軸的交點為A、B(點A位于點B的上方),直線與橢圓C交于不同的兩點M、N(點M位于點N的上方).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求△OMN面積的最大值;
(3)求證:直線AN和直線BM交點的縱坐標為常值.
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【題目】已知等差數(shù)列的前項和為,且,.
(1)求數(shù)列的前項和;
(2)是否存在正整數(shù),,使得,,成等比數(shù)列?若存在,求出所有的,;若不存在,說明理由;
(3)設,若對一切正整數(shù),不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】對于定義在上的函數(shù),若存在正常數(shù),使得對一切均成立,則稱是“控制增長函數(shù)”。在以下四個函數(shù)中:①②③④是“控制增長函數(shù)”的有(空格上填入函數(shù)代碼)________.
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【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),都有,且,則稱函數(shù)為“函數(shù)”。
(1)試判斷函數(shù)是否是“函數(shù)”并說明理由;
(2)若函數(shù)為“函數(shù)”,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“函數(shù)”,且.
求證();
()對任意,都有.
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【題目】已知A(4,0)、B(1,0),動點M滿足|AM|=2|BM|.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)直線l:x+y=4,點N∈l,過N作軌跡C的切線,切點為T,求NT取最小時的切線方程.
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【題目】等邊的邊長為,點,分別是,上的點,且滿足 (如圖(1)),將沿折起到的位置,使二面角成直二面角,連接,(如圖(2)).
(1)求證:平面;
(2)在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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