Question

已知

a

=（cosx，2

3

cosx），

b

=（2cosx，sinx），且f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的圖象與其對稱軸的交點坐標；
（3）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由向量和三角函數(shù)公式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由周期公式可得；
（2）可知函數(shù)的圖象與其對稱軸的交點即為函數(shù)的最大值和最小值點，結合圖象易得答案；
（3）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosx，2

3

cosx），

b

=（2cosx，sinx），
∴f（x）=

a

•

b

=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）可知函數(shù)的圖象與其對稱軸的交點即為函數(shù)的最大值和最小值點，
∴當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

（k∈Z）時，函數(shù)取最大值3，
當2x+

π

6

=2kπ+

3π

2

，即x=kπ+

2π

3

（k∈Z）時，函數(shù)取最小值-1，
∴f（x）的圖象與其對稱軸的交點坐標為（kπ+

π

6

，3）或（kπ+

2π

3

，-1）
（3）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及平面向量的數(shù)量積，屬基礎題．