Question

某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）利用計算器求出這個常數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，請你寫出一個三角恒等式，使得上述五個等式是這個恒等式的特殊情況；
（3）證明你寫出的三角恒等式．

Answer 1

考點：進行簡單的演繹推理,歸納推理

專題：規(guī)律型,三角函數(shù)的求值,推理和證明

分析：（1）選擇（2）求常數(shù)相對容易，可直接利用二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系結(jié)合特殊角三角函數(shù)值求得答案．
（2）根據(jù)（I）的計算結(jié)果，可得三角恒等式為：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，
（3）進而根據(jù)兩角差的余弦公式，展開化簡后可得答案．

解答： 解：（1）選擇②為例：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-

1

2

sin30°=1-

1

4

=

3

4

…（4分）
（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，可得三角恒等式為：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

…（6分）
證明：（3）sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（

3

2

cosα+

1

2

sinα）²-sinα（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=

3

4

sin²α+

3

4

cos²α=

3

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，三角函數(shù)恒等式的證明，熟練掌握二倍角正弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，特殊角三角函數(shù)值及兩角差的余弦公式，是解答的關(guān)鍵．