Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC=2，∠B₁BC=90°，D為AC的中點(diǎn)，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求證：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱錐C-BB₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)為O，連接OD，OB₁，證明AB⊥平面B₁OD，可得AB⊥OD，又OD⊥BB₁，因?yàn)锳B∩BB₁=B，即可證明平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明B₁O即點(diǎn)B₁到平面BCD的距離，即可求三棱錐C-BB₁D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)為O，連接OD，OB₁．
因?yàn)锽₁B=B₁A，所以O(shè)B₁⊥AB．
又AB⊥B₁D，OB₁∩B₁D=B₁，
所以AB⊥平面B₁OD，
因?yàn)镺D?平面B₁OD，所以AB⊥OD．…（3分）
由已知，BC⊥BB₁，又OD∥BC，
所以O(shè)D⊥BB₁，因?yàn)锳B∩BB₁=B，
所以O(shè)D⊥平面ABB₁A₁．
又OD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB₁A₁．       …（6分）
（Ⅱ）解：三棱錐C-BB₁D的體積=三棱錐B₁-BCD的體積
由（Ⅰ）知，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，平面ABC∩平面ABB₁A₁=AB，OB₁⊥AB，OB₁?平面ABB₁A₁
所以O(shè)B₁⊥平面ABC，即OB₁⊥平面BCD，B₁O即點(diǎn)B₁到平面BCD的距離，B1O=

3

…（9分）
S△BCD=

1

2

S△ABC=1…（11分）
所以VC-BB1D=VB1-BCD=

1

3

×1×

3

=

3

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．