Question

數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n，n∈N^*，等比數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₈．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由此能求出得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由b₁=2，且數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，q=2，能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅲ）由cn=n•2n+1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由已知，得b₁=2，b₄=16，
且數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
設(shè)公比為q，則q3=

b4

b1

=8，…（1分）
解得q=2，…（2分）
則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=2n．…（3分）
（Ⅱ）∵b₁=2，且數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，q=2，
∴Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-1．…（6分）
（Ⅲ）由已知cn=n•2n+1，
所以，Tn=22+2•23+3•24+…+n•2n+1．①…（7分）
2Tn=23+2•24+…+(n-1)•2n+1+n•2n+2②…（8分）
①-②，得-Tn=22+23+24+…+2n+1-n•2n+2…（10分）
=

4(1-2n)

1-2

-n•2n+2
所以，Tn=(n-1)2n+2+4…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．