Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，右焦點為(

3

，0)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過橢圓右焦點且斜率為k的直線與橢圓交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=0，求斜率k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出

c a = 3 2 c= 3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)過橢圓右焦點且斜率為k的直線方程：x=my+

3

，m=

1

k

，由

x=my+ 3 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²+2

3

my-1=0，由此利用韋達定理根據(jù)已知條件能求出斜率k的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，右焦點為(

3

，0)，
∴

c a = 3 2 c= 3

，解得a=2，b²=4-3=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵

x2

4

+y2=1的右焦點F（

3

，0），
∴過橢圓右焦點且斜率為k的直線方程：x=my+

3

，m=

1

k

，

x=my+ 3 x2 4 +y2=1

，整理，得（m²+4）y²+2

3

my-1=0，
∴y₁+y₂=

-2 3 m

m2+1

，y₁y₂=

-1

m2+4

，
△=12m²+4（m²+4）＞0，

x1x2

a2

+

y1y2

b2

=

m2+4

4

y1y2+

3 m

4

(y1+y2)+

3

4

=

4-2m2

2(m2+4)

=0，
∴m=±

2

，∴k=

1

m

=±

2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率k的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用．