Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若

AC

•

BC

=

7

5

，求tanα的值；
（Ⅱ）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件求出

AC

，

BC

，再由

AC

•

BC

=

7

5

，利用已知條件得到三角函數(shù)的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出tanα．
（Ⅱ）由已知條件，先求出

OA

，

OB

，

OC

，由|

OA

+

OC

|=

7

，兩邊平方結(jié)合題設(shè)條件能求出α=

π

3

，由此能求出

OB

與

OC

的夾角．

解答： 解：（Ⅰ）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，
∵

AC

•

BC

=

7

5

，
∴cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=

7

5

，
∴sinα+cosα=-

1

5

，①
兩邊同時平方，得1+2sinαcosα=

1

25

，
∴sinαcosα=-

12

25

，
∵0＜α＜π，∴cosα＜0，∴α∈(

π

2

，π)，
∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1+ 24 25

=

7

5

，②
由①②，得sinα=

3

5

，cosα=-

4

5

，
∴tanα=-

3

4

．
（Ⅱ）∵|

OA

+

OC

|=

7

，
兩邊平方得到|

OA

|2+|

OC

|2+2

OA

•

OC

=7，
∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），
∴|

OA

|2=4，|

OC

|2=1，
∴

OA

•

OC

=1=2cosα，
∵0＜α＜π，α=

π

3

，
設(shè)求

OB

與

OC

的夾角為θ，
則cosθ=

OB • OC

| OB |•| OC |

=

2sinα

2

=sin

π

3

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)的知識，是中檔題，解題時要注意三角函數(shù)恒等式的合理運(yùn)用．