Question

在復(fù)平面上把方程x¹⁰=1的根對應(yīng)的點(diǎn)的集合記為M，以M中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中共有

 

個直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：由實(shí)系數(shù)一元n次方程虛根原理，得到方程x¹⁰=1的根在復(fù)平面內(nèi)的分布情況，結(jié)合直徑所對圓周角為直角可得答案．

解答： 解：由x¹⁰=1，
根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式，得x=cos

2kπ

10

+isin

2kπ

10

(k=0，1，…，9)，
∴方程x¹⁰=1的根對應(yīng)的點(diǎn)均勻的分布在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，
以每兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為斜邊可以得到8個直角三角形，10個點(diǎn)共有5對，
∴以M中的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中共有40個直角三角形．
故答案為：40．

點(diǎn)評：本題考查了實(shí)系數(shù)方程根的問題，考查了復(fù)數(shù)的三角形式，是中檔題．