Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

）
（1）若

m

•

n

=1，求sin（-2x+

π

6

）的值；
（2）記f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，由

m

•

n

=1得出sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

，

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

6

或

x

2

+

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，
得出-2x+

π

6

的值，再進(jìn)行．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得出（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，整理化簡(jiǎn)得cosB=

1

2

，B=

π

3

．A∈(0，

2π

3

)，f（A）的取值范圍可求．

解答： 解：（1）由

m

•

n

=1，得

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=1，即

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=

1

2

，得sin(

x

2

+

π

6

)=

1

2

，
∴

x

2

+

π

6

=2kπ+

π

6

或

x

2

+

π

6

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，
∴-2x+

π

6

=-8kπ+

π

6

，或-2x+

π

6

=-8kπ-

4π

3

，
sin（-2x+

π

6

）=sin（-8kπ+

π

6

）=

1

2

或sin（-2x+

π

6

）=sin（-8kπ-

4π

3

）=-

3

2

．
（2）由（1）f（x）=

m

•

n

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，
∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．A∈(0，

2π

3

)，
f（A）=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

，
∵

A

2

+

π

6

∈(

π

6

，

π

2

)
∴f（A）∈(1，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)值求解．結(jié)合向量，正弦定理．