Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x+2）²+y²=1，求z=

y

x

的最小值及取得最小值時(shí)x和y的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由題意可得z=

y

x

表示圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率．過原點(diǎn)O作圓C的兩條切線，OA、OB，A、B為切點(diǎn)，求得 OA、OB的斜率，可得z=

y

x

的最小值及取得最小值，此時(shí)x、y的值即為點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)x、y滿足（x+2）²+y²=1，
∴z=

y

x

=

y-0

x-0

 表示圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率．
如圖所示：過原點(diǎn)O作圓的兩條切線，OA、OB，A、B為切點(diǎn)，
∵CA=CB=1，OC=2，∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴OA的斜率為tan150°=-

3

3

，OB的斜率為tan30°=

3

3

，
故z=

y

x

的最小值及取得最小值為-

3

3

．
此時(shí)，x的值即為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)：-2+1×cos60°=-

3

2

，
y的值即為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，為-

3

3

×（-

3

2

）=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的斜率公式，直線和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．