Question

若方程x²+x+a=0至少有一根為非負(fù)實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)方程x²+x+a=0有實(shí)數(shù)根，可得△=1²-4×1×a=1-4a≥0，利用韋達(dá)定理，分類討論，一個(gè)實(shí)數(shù)根為0，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為-1；一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)實(shí)數(shù)，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為正實(shí)數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：依題知，方程x²+x+a=0有實(shí)數(shù)根，則有：△=1²-4×1×a=1-4a≥0
∴a≤

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設(shè)方程x²+x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁和x₂，根據(jù)韋達(dá)定理有：
x₁+x₂=-1 …（1）
x₁x₂=a …（2）
能使（1）成立的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足以下兩種情況：
①一個(gè)實(shí)數(shù)根為0，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為-1（如x₁=0，x₂=-1），此時(shí)由（2）式知：a=x₁x₂=0
②一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)實(shí)數(shù)，另一個(gè)實(shí)數(shù)根為正實(shí)數(shù)．
設(shè)x₁=k（k＞0），則x₂=-（k+1），x₁x₂=-（k²+k）＜0，
此時(shí)由（2）式知：a=x₁x₂＜0
綜合以上所有結(jié)論知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程的根的分布，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．