Question

【題目】已知函數(shù)的最小值為0，其中，設．

（1）求的值；

（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）討論方程在上根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）由圖像知時有一個根，時無根．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的定義域，并求出其導函數(shù)，然后令求出極值點，并判斷導函數(shù)的符號進而得出函數(shù)取得極值，進而得出其最小值，即可得出結(jié)果；（2）首先將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，于是構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，最后得出實數(shù)的取值范圍；（3）首先將問題轉(zhuǎn)化為，然后轉(zhuǎn)化為，最后利用導數(shù)和函數(shù)的圖像即可得出所求的結(jié)果

試題解析：（1）的定義域為．

由，解得x＝1－a＞－a．

當x變化時，，的變化情況如下表：

x	（－a,1－a）	1－a	（1－a，＋∞）
	－	0	＋
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以．

（2）由知對恒成立

即是上的減函數(shù)．

對恒成立，對恒成立

，

（3）由題意知，

由圖像知時有一個根，時無根

或解： ，，又可求得時．在時 單調(diào)遞增．時， ，時有一個根，時無根．