【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,證明:函數(shù)是上的減函數(shù);
(Ⅱ)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求的值;
(Ⅲ)若,證明: (其中…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
【答案】(I)詳見解析;(II);(III)詳見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意二次求導(dǎo)可得,函數(shù)是上的減函數(shù).
(2)利用題意由導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線得到關(guān)于a的方程,解方程可得.
(3)原不等式等價(jià)于,結(jié)合(1)的結(jié)論構(gòu)造函數(shù),令,可證得.
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的定義域是,所以,
令,只需證: 時(shí), .
又,
故在上為減函數(shù),
所以,
所以,函數(shù)是上的減函數(shù).
(Ⅱ)由題意知, ,且,
所以,即有,
令, ,
則,
故是上的增函數(shù),又,因此是的唯一零點(diǎn),
即方程有唯一實(shí)根,所以.
(Ⅲ)因?yàn)?/span> ,
故原不等式等價(jià)于,
由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), 是上的減函數(shù),
故要證原不等式成立,只需證明:當(dāng)時(shí), ,
令,則, 在上的增函數(shù),
所以,即,故,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】分別求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)實(shí)軸長(zhǎng)為12,離心率為,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
(2)頂點(diǎn)間的距離為6,漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),1為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求函數(shù)在上的最小值.
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),=,記數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ,且f(1)=2.
(1)求m的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)用定義法證明f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù), ).以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點(diǎn), ,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a,b,則直線ax-by=0與圓(x-2)2+y2=2相交的概率為____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在函數(shù)()的所有切線中,有且僅有一條切線與直線垂直.
(1)求的值和切線的方程;
(2)設(shè)曲線在任一點(diǎn)處的切線傾斜角為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)科所發(fā)現(xiàn),一種作物的年收獲量 (單位: )與它“相近”作物的株數(shù) 具有線性相關(guān)關(guān)系(所謂兩株作物“相近”是指它們的直線距離不超過 ),并分別記錄了相近作物的株數(shù)為 時(shí),該作物的年收獲量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:
(1)求該作物的年收獲量 關(guān)于它“相近”作物的株數(shù) 的線性回歸方程;
(2)農(nóng)科所在如圖所示的直角梯形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn))處都種了一株該作物,圖中
每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 ,若從直角梯形地塊的邊界和內(nèi)部各隨機(jī)選取一株該作物,求這兩株作物 “相
近”且年產(chǎn)量?jī)H相差 的概率.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估
計(jì)分別為, ,
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