Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A、B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別為PA，PC的中點．
（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷l(xiāng)與平面PAC的位置關系，并加以說明；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足

DQ

=

1

2

CP

，記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的銳角為α，二面角E-l-C的大小為β，
①求證：sinθ=sinα•sinβ．
②當點C為弧AB的中點時，PC=AB，求直線DQ與平面BEF所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面所成的角,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）由已知條件推導出EF∥AC，從而得到EF∥平面ABC，由此能證明l∥平面PAC．
（II）①過B作AC的平行線BD，交線l即為直線BD，且l∥AC，由已知條件推導出∠CBF=β，∠CDF=θ，∠BDF=α，由此能證明sinθ=sinαsinβ；
②因為DQ∥CP，所以直線DQ與平面BEF所成的角就為CF與平面BEF所成的角，過點C作CG⊥BF，垂足為G，證明∠CFB就是直線CF與平面BEF所成的角，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）直線l∥平面PAC，
證明如下：連接EF，
因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC．
又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因為l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直線l∥平面PAC..4分
（Ⅱ）①證明：如圖，連接BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD，且l∥AC．
因為AB是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
連接BE，BF，
因為BF?平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β．
由

DQ

=

1

2

CP

，作DQ∥CP，且DQ=

1

2

CP．
連接PQ，DF，
因為F是CP的中點，CP=2PF，所以DQ=PF，
從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD．
連接CD，因為PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內的射影，
故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF為銳角，
故∠BDF為異面直線PQ與EF所成的角，即∠BDF=α，8 分
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得sinθ=

CF

DF

，sinα=

BF

DF

，sinβ=

CF

BF

，
從而sinαsinβ=

CF

BF

•

BF

DF

=

CF

DF

=sinθ，即sinθ=sinαsinβ.9分
②解：因為DQ∥CP，所以直線DQ與平面BEF所成的角就為CF與平面BEF所成的角
過點C作CG⊥BF，垂足為G，
因為BD⊥平面PBC，所以BD⊥CG，
又BD∩BF=B，所以CG⊥平面BEF
故∠CFB就是直線CF與平面BEF所成的角，sin∠CFB=

6

3

，
故直線DQ與平面BEF所成的角的正弦值為

6

3

13分

點評：本題考查直線與平面的位置關系的判斷與證明，考查三角函數正弦值相等的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．