Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B為菱形，且∠A₁AB=60°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁DC⊥平面ABC；
（2）求證：BC₁∥平面A₁DC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件得△A₁AB為正三角形，從而得到AB⊥CD，進(jìn)而得到AB⊥平面A₁DC，由此能證明平面A₁DC⊥平面ABC．
（2）連結(jié)C₁A，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連結(jié)DE．由三角形中位線定理得到DE∥BC₁．由此能證明BC₁∥平面A₁DC．

解答： （1）證明：∵ABB₁A₁為菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB為正三角形．…（2分）
∵D是AB的中點(diǎn)，∴AB⊥A₁D．                
∵AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CD．…（4分）
∵A₁D∩CD=D，∴AB⊥平面A₁DC．…（6分）
∵AB?平面ABC，∴平面A₁DC⊥平面ABC．…（8分）
（2）證明：連結(jié)C₁A，設(shè)AC₁∩A₁C=E，連結(jié)DE．
∵三棱柱的側(cè)面AA₁C₁C是平行四邊形，∴E為AC₁中點(diǎn)．…（10分）
在△ABC₁中，又∵D是AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC₁． …（12分）
∵DE?平面A₁DC，BC₁不包含于平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．